Ja vienādojums ir lineārs attiecībā uz vecākajiem atvasinājumiem , tad diferenciālvienādojumu sauc par kvazilineāru. To var pierakstīt formā:

, (2)

.

,

Par lineāru diferenciālvienādojumu sauc tādu vienādojumu, kurš ir lineārs gan pret pašu funkciju, gan visiem tās atvasinājumiem:

, (3)

Visbeidzot, ja neviens no minētājiem koeficientiem nav atkarīgs no , citiem vārdiem, visi tie ir konstantes, tad diferenciālvienādojumu sauc par lineāru ar konstantiem koeficientiem.

Jāatzīmē, ka šajā kursā apskatīsim tikai vienādojumus ar konstantiem koeficientiem.

Visbeidzot, ja , tad diferenciālvienādojumu sauc par homogēnu.

2 Otrās kārtas diferenciālvienādojumu tipi

. (1)

Pieņemsim turpmākajam, nepieciešamības gadījumā mainot apzīmējumus, ka , ja , pie kam varam uzskatīt, ka . Pāriesim uz jauniem mainīgajiem

, (2)

,

(3)

,

,

,

, (4)

.

, (5)

, (6)

Apskatīsim ar izteiksmēm (4) saistīto nelineāru 1. kārtas diferenciālvienādojumu

, (7)

.

.

1) , tad diferenciālvienādojumu sauc par hiperboliska tipa vienādojumu;

2) , tad diferenciālvienādojumu sauc par paraboliska tipa vienādojumu;

3) , tad diferenciālvienādojumu sauc par eliptiska tipa vienādojumu.

Diferenciālvienādojuma (1) tipu nosaukumi ir saskaņoti ar 2. kārtas līkņu

Tālākā vienādojuma (1) redukcija kanoniskajā formā ir atkarīga no diskriminanta zīmes.

Hiperboliskais tips

Šajā gadījumā mums dod divus vienādojumus ar reāliem koeficientiem. Tātad ir jāatrod divu parasto diferenciālvienādojumu sistēmas

, . (8)

.

Tas nozīmē, ka vienādojumu varam uzrakstīt formā

, ( )

.

, ,

( )

Šajā gadījumā vienādojumu sistēma patiesībā sastāv tikai no viena vienādojuma

. (10)

,

. ( )

.

Apskatam koeficienta izteiksmi pirmajā no vienādojumiem (4), izmantojot to, ka :

,

,

Dalot vienādojuma abas puses ar , iegūstam paraboliskā tipa vienādojuma kanonisko formu

, (11)

.

Šajā gadījumā diferenciālvienādojuma koeficienti ir kompleksas funkcijas, tātad arī pirmā vienādojuma atrisinājums būs funkcija ar kompleksām vērtībām (otrā vienādojuma atrisinājums būs kompleksi saistīts lielums),t.i.

. (11)

, .

,

Savukārt, pielīdzinot nullei imagināro daļu:

.

, (12)

.

Piezīmes

1. Ja apgabala punktā , tad vienādojuma (1) koeficientu nepārtrauktības dēļ diskriminanta zīme, tātad arī vienādojuma tips (hiperboliskais vai eliptiskais), saglabāsies kādā šā punkta apkārtnē.

2. Ja vienādojums savu tipu saglabā visā definīcijas apgabalā , tad vienādojumu sauc par attiecīgā tipa (hiperbolisko, parabolisko vai eliptisko). Pretējā gadījumā vienādojumu (1) sauc par jaukta tipa diferenciālvienādojumu.

Šajā kursā tā ierobežotā apjoma dēļ neapskatīsim kanoniskās formas iegūšanu 2. kārtas diferenciālvienādojumam, ja argumentu skaits ir lielāks par diviem. Dosim tikai šo formu izskatus trijiem galvenajiem vienādojumu tipiem, izmantojot argumentu apzīmējumiem fizikālos un ģeometriskos jēdzienus: laiks un telpas koordinātes . Tad, pilnīgā saskaņā ar kanonisko formu un to nosaukumiem diviem argumentiem, arī vispārīgajā gadījumā lieto šādu klasifikāciju.

Hiperboliskā tipa vienādojuma (viļņu vienādojums) kanoniskā forma (zīme pie laika atvasinājuma ir pretēja kā pārējiem 2. kārtas atvasinājumiem):

. (13)

. (14)

. (15)