making sense - Seksīgā matemātika? [ieraksti | vēsture | ko es lasu | par mani]
gedymin

[   par mani   ]
[   arhīvs   ]

Seksīgā matemātika? [15. Maijs 2011|17:58]
Previous Entry Add to Memories Tell A Friend Next Entry
Domājot par to, kāda veida matemātika varētu likties interesanta cilvēkam ar vidusskolas izglītību (ne R1VĢ), kurš tā kā gribētu studēt kaut ko šajā sakarā... sapratu, ka patiesībā ir grūti tā ņemt un izdomāt interesantus piemērus.

Problēma ir tā, ka parasti jau vajadzīga vismaz dažus dienu "iebraukšana" kādā matemātikas nozarē, lai spētu saskatīt to, ka tas tieši tur "pavelk". Taču šajā gadījumā uzdevumiem vai teorijai būtu jābūt:
1) Izrēķināmiem vai saprotamiem bez lielām priekšzināšanām (maksimums, dažās minūtēs apgūstamām);
2) Tajā pašā laikā saistītiem ar augstākās matemātikas (AM) tēmām vai tāda veida matemātisko intuīciju attīstošiem.

Mēģināšu piefiksēt dažus šeit. Ieteikumus vai risinājums - komentāros, ja kādam te tādi būs.



* Cik gara ir četrdimensiju kuba garākā diagonāle, ja tā šķautnes garums ir 1? Un tad, ja šķautnes garums ir a?

* Uzzīmēt ar "pēc iespējas regulārākām" figūrām četru kopu Venna diagrammu. (Apļi, kā divu vai trīs kopu gadījumā, nederēs.)

* Kompleksie skaitļi: cik būs i^i (i pakāpē i)? (Vajadzīgs nedaudz priekšzināšanu AM. Hint: Eilera formula e^{it} = \cos{t} + i \sin{t})

* Kas būtu vajadzīgs (kāda veida struktūras), lai varētu dalīt ar nulli? Kādā veidā to izmantošana atšķirtos no "parastajiem" skatļiem? Hint:
struktūra = kompleksie/reālie/racionālie/veselie skaitļi, papildināti ar jaunu elementu.

* Galīgas kopas ir vienāda apjoma tad, ja tajās ir vienāds elementu skaits. Ko nozīmētu teikt, ka bezgalīgas kopas ir vienāda apjoma? Vai iespējamas nevienāda apjoma bezgalīgas kopas?

* Pierādījumi. (Pēc paša pieredzes zinu, ka vidusskolā tos vāji māca). Kaut kas pavisam elementārs, piemēram... Pierādīt ar matemātisko indukciju, ka katra naturālā skaitļa kvadrātu var izteikt kā nepārskaitļu summu: \sum_{i=0}^{n} (2i - 1) = n^2

* Matemātiskā indukcija. Kas vainas pierādījumam?

Apgalvojums: virknē T, kur T_{n+1} = T_n + 2^n, un pirmais elements ir vienāds ar 0, visi elementi dalās ar divi.
Indukcijas bāze: T_0 = 0
Indukcijas pāreja: pieņem, ka T_n dalās ar divi.
T_{n + 1} = T_n + 2^n
Tā kā gan T_n, gan 2^n dalās ar divi, tad arī to summa dalās ar divi. Q.E.D.
Faktiski virkne T=0,1,3,7,15,... Pretruna?

* ...un beigās - kaut kas daudz sarežģītāks, lai arī skaists. Kāpēc ir tieši 17 plaknes simetrijas grupu (attēlos), un kā iespējams zināt, ka nav vēl kāda?





(Es nezinu atbildi uz pēdējo jautajumu.)
saiteatstāt nospiedumu

Comments:
From:[info]komeeta_naak
Date:15. Maijs 2011 - 19:28
(Link)
man šis interesi par matemātiku noteikti neizraisītu (pat ar visu RV1Ģ), I mean - kam šis ir paredzēts? domāju, ka ne-hardcore matemātiķi no sērijas programmētāji un ekonomisti aizbēgtu brēkdami.
[User Picture]
From:[info]gedymin
Date:15. Maijs 2011 - 19:37
(Link)
Cilvēkam, kas taisās iet uz kādu no LU matemātiķu programmām.
Nu, vai arī vispār studentam (Mat./Fizika/Datorika) ar interesi par šim lietām.
From:[info]komeeta_naak
Date:15. Maijs 2011 - 19:41
(Link)
cik atminos, attiecībā uz kopām un indukciju vidusskolā vajadzēja diezgan daudz laika, lai tos pamatus apjēgtu (nostāsti, pašai šis nebija), un, manuprāt, kopas arī ir viena no sarežģītākajām tēmām, tā ka nu nez, man šķiet, ka tāpat nobītos. ir daļa cilvēku, kam tīri labi patīk integrēt/atvasināt, bet tur arī vajag čupu priekšzināšanu, vismaz sarežģītākajam.
[User Picture]
From:[info]gedymin
Date:15. Maijs 2011 - 19:50
(Link)
Dot integrēt noteikti neatbilstu kritērijiem, jo jā, tas prasītu daudz laika. Man pašam arī tas nepatīk :)
Kopas - kas tad tur. Kopa - vienkārši kolekcija no elementiem...
Šis tas ir ņemts no maniem pašiem pirmā kursa uzdevumiem (ne matemātiķos).
From:[info]komeeta_naak
Date:15. Maijs 2011 - 20:00
(Link)
nu bet indukcija ir vienkārši traģiska (mana pirmā negulētā nakts vidusskolā, ap trijiem un litra kafijas atmetu ar roku, tā bija indukcija saistībā ar Koha fraktāli, like wtf?!)