evergreen - Komentāri

filozofs

00:54

Jau iepriekš atvainojos par savu neprecīzo rakstību.

Tagad iedomāsimies apvilktu regulāru bezgalīg-stūri. Diezgan jauka figūra, jo tās perimetrs ir vienāds ar (vai arī korektāk būtu teikt, ka tas tuvojas) apvilktās rinķa līnijas garumu. No katra bezgalīg-stūra virsotnes var novilkt nogriezni uz pašas figūras un reizē arī apvilktās riņķa līnijas centru, kas neapšaubāmi ir vienāds ar 'r' (rādiusu, respektīvi). Un tagad mēs iegūstam bezgalīgi daudz šauru trijstūrīšu. Un kas gan mums liedz aprēķināt katra mazā vienādsānu trijstūrīša pamatu pēc kosinusu teorēmas? Itin nekas.

Līdz ar to iegūstam, ka katra trijstūra pamats ir vienāds ar kvadrātsakni no abu malu kvadrātu summas atņemot abu malu reizinājumu ar kosīnusu no leņķa starp tām, kas ir vienāds ar 360^o dalīts ar trijstūru skaitu (mūsu gadījumā bezgalību). Šo un to iznesot no saknes iegūstam, ka l₀ = r * sqrt(2) * sqrt(1 - cos(360^o / n)), kur 'n' tiecas uz bezgalību. Pareizi?

Un kas mums liedz aprēķināt regulārā daudzstūra perimetru, kurš starp citu tuvojas apvilktās riņķa līnijas garumam, pareizinot viena mazā trijstūra augstumu (jeb l₀) ar kopējo stūru skaitu. Atkal nekas. Beigās iegūstam, ka apvilktās riņķa līnijas garumums ir vienāds ar begalīg-stūra viena trijstūra pamata reizinājumu ar trijstūru skaitu. Īsāk to var uzrakstīt kā: P = n * r * sqrt(2) * sqrt(1 - cos(360^o / n)).

Un kā mums tika mācīts pamatskolā, tad apvilktās riņa līnijas garums ir vienāds ar rādiusa reizinājums ar divi un Pi, jebšu l = 2 * Pi * r. Iznesot Pi un saliekot visas iepriekšējās formulas kopā, pieņemot, ka pie lielām 'n' vērtībām daudzstūra perimetrs ir vienāds ar apvilktās riņķa līnijas garumu, iegūstam, ka Pi = n * r * sqrt(2) * sqrt(1 - cos(360^o / n)) / 2 / r, kur 'r' saīsinās un sqrt(2) / 2 var vienkāršāk uzrakstīt kā cos(45^o), iegūstam iepriekšminēto formulu:

Pi = lim (n * cos 45^o * sqrt( 1 - cos (360^o / n ))), kur n -> ∞

Prieks, kur tu rodies..